分类加法计数原理

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，...... ，在第 n 类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有

N = ++ ... +种不同的方法

例：书架上放有15本不同的数学书，中层放有16本不同的语文书，下层放有14本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？

答：这是分类的问题，某人从中取出一本书，那么共有 15 + 16 + 14 = 45 种取法

分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，... , 那么完成这件事共有 N = 种不同的方法

例：书架的第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书，从这些书中任取一本数学、一本语文、一本英语共三本书的不同取法有多少种？

答：第一层有6种取法，第二层有6种取法，第三层有5种取法，则共有 6 * 6 * 5 = 180 种取法

综上，分类是做一件事情多个方法完成，用加法；分步是做一件事情分多个步骤完成，用乘法

练习：现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画。

（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？

（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？

答：（1）该题为分类问题，共 5 + 2 + 7 = 14 种选法

（2）该题为分步问题，共 5 * 2 * 7 = 70 种选法

（3）第一种情况：选国画、油画，有 5 * 2 = 10 种选法

第二种情况：选国画、水彩画，有 5 * 7 = 35 种选法

第三种情况：选油画、水彩画，有 2* 7 = 14 种选法

综上，共有 10 + 35 + 14 = 59 种选法

练习：用 0，1，2，3，4，5这六个数字，

（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？

（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？

（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？

答：（1）首先考虑百位数上不能为0，则百位数上有5种选择

十位数上没有不为0限制，因于百位数不重复，则十位数上有5种选择

个位数上没有不为0的限制，因不与百位数、十位数重复，则个位数有4种选择

综上，可组成 5 * 5 * 4 = 100 种选择

（2）首先考虑百位数上不能为0，则百位数上有5种选择

十位数上有6种选择，个位数上有6种选择

综上，可组成 5 * 6 * 6 = 180 种选择

（3）当个位数上是奇数时，不管十位数、百位数(百位数不能为0)上是什么数都是奇数

个位数和百位数比较特殊，先考虑个位数和百位数

个位数可选择 1、3、5 三种选择，百位数可有 4 种选择

个位数、百位数都已选择了一个数，十位数有 4 种选择

综上，可组成 3 * 4 * 4 = 48 种选择

练习：一个口袋里有 5 封信，另一个口袋里有 4 封信，各封信内容均不相同

（1）从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？

（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入 4 个邮筒，有多少种不同的投法？

答：（1）一个口袋有5种取法，另一个口袋有4种取法，在每个口袋里取相当于一步，

有 5 * 4 = 20种取法

（2）每封信可选择 4 个邮筒投递，因此每封信都有4种选择，每投递一封信相当于完成了一步，总共投递9封信，所以 有种投法

练习：如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为

答：设有红、黄、蓝、紫四种颜色，A先选择，可选择 4 种 ；接着D选择，可选择 3 种；E可选择 2 种；难点在B、C的选择上，假设A选择红，D选择黄，E选择蓝，那么B有紫、黄两种选择：当B选择紫时，C只有红一种选择；当B选择黄时，C有红、紫两种选择。B的选择决定C的选择，将B、C看成一个整体，共有3种选择

则不同涂色方法有 4 * 3 * 2 * 3 = 72 种

练习：从 7 个人中挑出 4 个人站成一排会有多少种情况？

答：这是一个排列问题，假设 7 个人的编号为 1、2、3、4、5、6、7，分别站到 A、B、C、D 四个位置。A可以有 7 种选择，然后B有 6 种选择、C有 5 种选择， D有 4 种选择，则总共有 7 * 6 * 5 * 4 = 840种情况

由该练习引出,等于从中取出m个排列的数进行相乘，

比如等于 7 * 6 * 5 * 4 等于 5 * 4

排列与排列数

（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫做排列

（2）排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(mn)个不同元素的所有排列的个数，叫做排列数，用符号表示

（3）排列数计算公式：=

(其中mn, m、n)

(4)若 m = n，排列称为全排列，记= n(n-1)(n-2)... 3 * 2 * 1 = n! (称为n的阶乘)

（5）规定 0！= 1

（6）排列数的性质：= n

例：（无限制条件的排列问题）利用 1，2，3，4 这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

答：这是一个排列的问题，假设百位数有 4 种选择，则十位数有 3 种选择，个位数有2位选择，总共组成多少个没有重复数字的三位数可记作= 24 个

例：（元素相邻问题）有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生也必须相邻，则不同的排法种数为？

答：把女生、男生看成两个个体，女生和男生的排列有；女生必须相邻，则女生内部排列的种数有；男生必须相邻，则男生内部排列的种数有。综上，不同的排法有* *= 288 种

例:（元素不相邻问题）5 位母亲带领 5 名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有多少种？

答：先对母亲进行排列，有种；在对儿童进行排列，儿童分别站到母亲的间隔中，母亲的间隔有 6 个空位，则儿童有种

综上，儿童不相邻的站法总计有 * = 86400 种

例：（定位、定元问题）6 名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有多少种不同站法？

答：6 位同学站成一排的话共有 6 个空位，看最特殊的同学甲既不站在最左边也不站在最右边，则有 4 种选择；其余 5 位同学有。种排法

综上，共有 4 *= 480 种不同站法

排列是特殊的分布问题，排列问题包括无限制问题和有限制问题，有时间问题需要多花时间进行思考。下面看一个和排列完全不同的例子：

⭐️ 从 7 个人中挑出 4 个人会有多少种情况？

答：从 7 个人中挑出 4 个人首先会用排列的思考点去解题，即 ，是从 7 个人中挑选出 4 个人站成一排，现在是从7个人中挑出 4 个人，因此，还需把排列产生的种数去掉，即

为什么要用做分母呢，可以再看一个例子：假设有甲、乙、丙，将其分为 2 堆，总共有多少种分法？可以有甲乙、甲丙、乙丙 3 种分法，也可以通过= 3 获得分法

可以用表示，这里引出了组合的概念

组合与组合数

（1）组合的定义：从 n 个不同元素中，取出 m(mn)个不同元素组成一组，叫做组合

（2）组合数的定义：从 n 个不同元素中，取出m(mn)个不同元素的所有组合的个数，叫做组合数，用符号表示

（3）组合数计数公式：==

(其中mn，m、n)，规定= 1

(4)排列数与组合数的关系：=

(5)组合数的性质：=

=+

=

常用的是=，=+

理解下=：=相当于从 7 个人中挑 4 个 等价于 从 7 个人中挑 出来3个剩 4 个

理解下=+：假设有 1、2、3、4、5、6、7，抽取 4 个，问有多少种方法？1、换个思路考虑，假设1没有被选择，则有 ，假设1被选择了，剩下的数字有 ，总计有+种方法。2、正常的求解方法是。综上，=+

例：计算（1）；（2）

例：（无限制条件的组合问题）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是多少？

例：（有限制条件的组合问题）某医院从10名医疗专家中抽调6名赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家，问：

（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？

（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？

（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？

例：某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拨定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有多少种？

某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂有5个车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行实践学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有多少种？

例 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名， 最多 2 名，则不同的分配方案有多少？

例：将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有多少种？

例 某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为为多少？

排列组合就讲到这了，参考视频链接为：
https://www.bilibili.com/video/BV137411t7kG/?spm_id_from=
333.880.my_history.page.click&vd_source=
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复习了排列组合，再学习概率论会更容易理解一些